↑ Chứng minh: Áp dụng định lý về hạng và số chiều của hạt nhân đối với bất đẳng thức dim ker ( A B ) ≤ dim ker ( A ) + dim ker ( B ) {\displaystyle \dim \operatorname {ker} (AB)\leq \dim \operatorname {ker} (A)+\dim \operatorname {ker} (B)} .
↑ Chứng minh: Ánh xạ C : ker ( A B C ) / ker ( B C ) → ker ( A B ) / ker ( B ) {\displaystyle C:\operatorname {ker} (ABC)/\operatorname {ker} (BC)\to \operatorname {ker} (AB)/\operatorname {ker} (B)} được định nghĩa đúng và là đơn ánh. Vì thế ta có thể thu được bất đẳng thức với các số chiều của hạt nhân, từ đây có thể chuyển thành bất đẳng thức với hạng nhờ định lý về hạng và số chiều của hạt nhân. Một cách khác, nếu M là một không gian con tuyến tính thì dim(AM) ≤ dim(M); áp dụng bất đẳng thức này cho không gian con được định nghĩa bởi phần bù (trực giao) của không gian ảnh của BC trong không gian ảnh của B, có số chiều là rk(B) − rk(BC); ảnh của nó dưới biến đổi A có số chiều rk(AB) – rk(ABC).
